1. 几何与复数运算

复数简介

一般三次方程可以表示为：

Bombelli 曾考虑方程 ，于是得到

欧拉公式

考虑 的幂级数展开：

只需在 中将 替换为 ，并与 进行比较，就可以证明

同时还可以得到两个公式：

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习题

三次根公式的推导

利用平移 （因为这样可以消去拐点处的二次项），从而将问题转化为求解

使用 Lagrange 预分解，即进行如下代换：

于是得到

接下来问题转化为寻找满足这些关系的 和 。假设 成立，并利用 来构造方程。由于

于是

令 ，于是原来的三次方程可以化为一个二次方程，最终得到

此外，还可以利用公式 ，从而得到根可以表示为

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几何证明

几何地证明：若 ，则

我们可以将 分解为
。

通过观察可以发现， 的辐角是 的两倍，因此可以证明该结论。

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定辐角轨迹

从几何角度解释为什么满足

的点 的轨迹是一段经过固定点 和 的圆弧。

这意味着向量 与 之间的夹角是一个常数。

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等边三角形条件

利用图形，求满足下列方程的点 的轨迹

可以推出

同时

于是

最终得到

即三角形 是 等边三角形。

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奇数倍余弦求和

设

证明

方法一

考虑恒等式

于是

方法二（几何级数）

考虑级数

它可以写成

于是

利用公式

对分子与分母进行化简，可以得到同样的结果。